Histogram

Wstęp

Histogram jest uważany za jeden z siedmiu podstawowych narzędzi doskonalenia jakości, którego zastosowanie w statystyce jest bardzo szerokie. Dzięki histogramowi możemy graficznie przedstawić rozkład badanej cechy (np. wymiaru, wagi, temperatury itp.) i przez to lepiej zrozumieć analizowany proces lub jego wyroby.

Co to jest histogram?

Histogram jest to wykres przedstawiający rozkładu badanej cechy (np. szerokości wyrobu) w formie pewnej ilości prostokątów, umieszczonych na osi współrzędnych X-Y. Szerokość prostokąta (W) reprezentuje pewien zakres wartości badanej cechy, natomiast wysokość prostokąta (H) reprezentuje ilość przypadków (częstotliwość), gdy badana cecha zawiera się w danym zakresie. Poniższy rysunek przedstawia przykładowy histogram.

Powyższy histogram przedstawia wyniki pomiaru długości 53 metalowych prętów po procesie ich cięcia na wymiar 100mm +/- 3mm.

Jak rozumieć pojedynczy prostokąt?

Prostokąt zaznaczony na kolor żółty przedstawia 10 elementów (H) o długości zawierających się w zakresie od 99.75 do 100.25 natomiast prostokąt w kolorze zielonym reprezentuje 9 prętów o długości znajdującej się w zakresie 99.25 - 99.75.

Jak przygotować histogram?

Zebranie wyników pomiarowych

1. Należy zebrać minimum 50 pomiarów, aby histogram mógł w miarę dobrze odwzorować badaną cechę w całej populacji. Oczywiście im więcej wyników zostanie zebrane, tym bardziej histogram będzie podobny do badanej populacji, dlatego zalecam pobieranie większej liczny próbek o ile to tylko możliwe.
2. Pobierając próbki należy zadbać o to, aby pobierać próbki w sposób losowy.
3. Oczywiście należy upewnić się, czy metoda pomiaru danej cechy jest poprawna.

Ustalenie ilości przedziałów (ilości prostokątów)

1. Ustal rozstęp (ang. "range") dla całej pobranej próbki (wszystkich wyników). Rozstęp to wynik odejmowania najmniejszej wartości z próbki od wartości największej.
   
2. Określ liczbę potrzebnych przedziałów (ang. "bins"). Nie jest to łatwe zadanie gdyż, nie ma jednego sposobu na określenie ilości przedziałów. Stosuje się wiele różnych metod:
   1. Liczba przedziałów (k) to pierwiastek kwadratowy z ilości obserwacji zaokrąglony do najbliższej liczby całkowitej [1].
      
   2. Drugim rozwiązaniem jest dzielenie wg normy DIN 55302, korzystając z poniższej tabeli [2]:

      Ilość próbek n	Ilość przedziałów k
      do 50	nie możliwe
      do 100	nie mniej niż 10
      do 1000	nie mniej niż 13
      do 10000	nie mniej niż 16

   3. W literaturze amerykańskiej spotykana też jest taka tabela [1]:

      Ilość próbek n	Ilość przedziałów k
      do 50	5 - 7
      50 - 99	6 - 10
      100 - 250	7 - 12
      powyżej 250	10 - 20

   4. Norma CNOMO Norm E41.32.110N (PSA - Peugeot, Citröen, Renault) zaleca następujący sposób [2]:
      

Obliczenie szerokości przedziałów

Szerokość przedziału (W) możemy obliczyć na podstawie następującego wzoru:

gdzie k to uprzednio obliczona ilość przedziałów a R to także uprzednio obliczony rozstęp.

Szerokość przedziału (W) należy zaokrąglić w górę do takie samego miejsca po przecinku, co zebrane dane pomiarowe.

Określenie wartości dla poszczególnych przedziałów

Dolną granicę dla pierwszego przedziału możemy określić jako minimalną wartość z danych pomiarowych. Jego górna granica to początek kolejnego przedziału. Kolejne przedziały wyznaczamy kolejno dodając do siebie szerokości przedziałów (W).

Należy pamiętać, aby przedziały wzajemnie się wykluczały, czyli inaczej mówiąc obserwacje, które znajdują się "na granicy przedziałów" mogą należeć tylko do jednego z nich.

Poniższa tabela zawiera przykładowe zestawienie poszczególnych przedziałów dla k=7, w=0,8 i najmniejszej wartości w obserwacjach = 97,5

Określenie ilości obserwacji w danym przedziale

Po określeniu zakresów policz ile wyników pomiarów (obserwacji) należy do poszczególnych przedziałów. Każdą obserwacje zaznacza jedną pionową kreską I

To co otrzymaliśmy to właśnie histogram.

Histogram - jak analizować?

Średnia

Średnia (ang "mean") pozwala nam na oszacowanie, gdzie jest środek analizowanego zbioru obserwacji. Dzięki temu możemy lepiej zrozumieć, jaka jest średnia wartość cechy i ewentualnie porównać ją ze średnia w innych histogramach o podobnej lub nieco innej zmienności. Poniższy wykres przedstawia dwa histogramy o tej samej ilości obserwacji (53), podobnej zmienności lecz o innej średniej. Dla wykresu A średnia wynosi 100.1 natomiast dla wykresu B średnia wynosi 102.1

Zmienność

Szerokość histogramu odzwierciedla stopień zmienności badanej cechy. Im szerszy jest histogram tym większa jest zmienność, im węższy histogram tym zmienność jest mniejsza. Zmienność najczęściej jest opisywana za pomocą odchylenia standardowego oznaczonego literą s lub σ (grecka litera sigma). Czasami stosuje się też oznaczenie StDev (ang. "standard deviation").

Im większe jest odchylenie standardowe tym większa jest zmienność danej cechy.

Poniższy wykres przedstawia dwa histogramy o tej samej liczbie obserwacji i średniej ale o różnej zmienności. Wykres A jest szerszy od wykresu C. Odchylenie standardowe dla A wynosi σ = 1.078 natomiast wykres C ma odchylenie standardowe równe σ = 0.575.

Kształt

W naturze (w przyrodzie) większość cech, które chcielibyśmy opisać za pomocą histogramu ma rozkład normalny o ile nie występują jakieś zaburzenia, które zmieniają ten rozkład na inny niż normalny. Te zaburzenia określa się mianem "przyczyn specjalnych" (ang. "special cause").

1. M. Brassard, D.Ritter "Pomocnik Pamięci" Wydanie 1, GOAL/QPC, Methuen MA USA, 1994
2. E.Dietrich, A.Schulze "Metody Statystyczne w kwalifikacji środków pomiarowych maszyn i procesów produkcyjnych" Wydanie 1, Notika System, 2000